Lernpfad:Das Dualsystem/10

Betrachte erneut 4-Bit Dualzahlen. Mit vier Bit können insgesamt 16 Zahlen dargestellt werden. Von [math]\displaystyle{ (0000)_2 = (0)_{10} }[/math] bis [math]\displaystyle{ (1111)_2 = (15)_{10} }[/math].

Was aber, wenn wir auch negative Zahlen im Binärsystem darstellen wollen?

Arbeitsauftrag

1. Überlegt Euch, wie man negative Zahlen im Dualsystem darstellen kann.
2. Welche Zahlen können nach Eurem Verfahren mit 4 Bit dargestellt werden?
3. Probiert die Addition von Binärzahlen aus. Funktioniert sie noch, wie zuvor?

Die Vorzeichenbit-Darstellung

Bei n-Bit Zahlen in Vorzeichenbit-Darstellung (VzD) wird das höchstwertige Bit (das Bit ganz links für die Potenz [math]\displaystyle{ 2^{n−1} }[/math]) für das Vorzeichen reserviert (0=positiv, 1=negativ). Es verbleiben also [math]\displaystyle{ n − 1 }[/math] Bit für die Darstellung des Zahlwertes.

4-Bit VzD:	[math]\displaystyle{ (0011)_2 = (3)_{10} }[/math]	[math]\displaystyle{ (1011)_2 = (-3)_{10} }[/math]
7-Bit VzD:	[math]\displaystyle{ (0001000)_2 = (8)_{10} }[/math]	[math]\displaystyle{ (1001000)_2 = (-8)_{10} }[/math]

Für die VzD ist also von Bedeutung, wie viele Bit eine Dualzahl maximal haben kann.

Arbeitsauftrag

Forme die 6-Bit VzD Zahlen ins Dezimalsystem um:

1. [math]\displaystyle{ (010101)_2 }[/math]
2. [math]\displaystyle{ (101010)_2 }[/math]
3. [math]\displaystyle{ (000000)_2 }[/math]
4. [math]\displaystyle{ (100000)_2 }[/math]

Lösung

Forme die 6-Bit VzD Zahlen ins Dezimalsystem um:

1. [math]\displaystyle{ (010101)_2 = (21)_{10} }[/math]
2. [math]\displaystyle{ (101010)_2 = (-10)_{10} }[/math]
3. [math]\displaystyle{ (000000)_2 = (0)_{10} }[/math]
4. [math]\displaystyle{ (100000)_2 = (-0)_{10} }[/math] (!!)

Arbeitsauftrag

Vervollständige den Satz:

In der 4-Bit VzD können 16() verschiedene Dualzahlen mit 15() verschiedenen Werten dargestellt werden. Die kleinste mögliche Zahl (in Dezimaldarstellung) ist -7(), die Größte ist 7().

Das Zweierkomplement

Das Einerkomplement einer Dualzahl wird gebildet, indem die Zahl invertiert wird (aus 0 wird 1 und aus 1 wird 0). Für das Zweierkomplement (ZkD) wird zum Einerkomplement noch 1 addiert.

Bei Dualzahlen in Zweierkomplement-Darstellung (ZkD) sind negative Zahlen das Zweierkomplement ihrer positiven Gegenzahl. Das hat den zusätzlichen Vorteil, dass das höchstwertige Bit auch hier anzeigt, ob die Zahl positiv (0) oder negativ (1) ist.

	Binärzahl	Einerkomplement	Zweierkomplement
4-Bit ZkD:	[math]\displaystyle{ (0011)_2 = (3)_{10} }[/math]	[math]\displaystyle{ (1100)_2 }[/math]	[math]\displaystyle{ (1101)_2 = (-3)_{10} }[/math]
7-Bit ZkD:	[math]\displaystyle{ (0001000)_2 = (8)_{10} }[/math]	[math]\displaystyle{ (1110111)_2 }[/math]	[math]\displaystyle{ (1111000)_2 = (-8)_{10} }[/math]

Arbeitsauftrag

Bilde das Zweierkomplement der 4-Bit Zahlen (denke an den Überlauf). Notiere darunter auch jeweils die Dezimalzahldarstellung der Zahlen.

1. [math]\displaystyle{ (0001)_2 }[/math]
2. [math]\displaystyle{ (1010)_2 }[/math]
3. [math]\displaystyle{ (0000)_2 }[/math]

Arbeitsauftrag

Berechne die Summe der 4-Bit ZkD Zahlen und kontrolliere die Rechnung im Dezimalsystem.

1. [math]\displaystyle{ (0001)_2 + (1110)_2 }[/math]
2. [math]\displaystyle{ (1001)_2 + (0111)_2 }[/math]
3. [math]\displaystyle{ (1011)_2 + (1000)_2 }[/math]
4. [math]\displaystyle{ (1011)_2 + (0000)_2 }[/math]

Arbeitsauftrag

Vergleiche die beiden Darstellungen für negative Dualzahlen miteinander. Wo liegen Vorteile, was sind Probleme der Darstellungen?