Lernpfad:Einführung in den TI-Nspire CX/Dokumentation von Lösungen
Der Einsatz eines grafikfähigen Taschenrechners in Klausuren erleichtert an vielen Stellen die rechnerische Lösung von Problemstellungen. Entsprechend müssen Aufgabenstellungen weniger Rücksicht auf den Zeitaufwand beim Berechnen einer Lösung nehmen und können den Fokus mehr darauf legen, einen methodischen Ansatz zu finden und die Ergebnisse zu interpretieren. Außerdem können realistische Sachkontexte gewählt werden, da "krumme" oder besonders große/kleine Zahlen keine Hürde mehr bei der Durchführung einer Rechnung darstellen.
Diese Verschiebung der Anforderungen an die Prüflinge erfordert aber auch, dass die Lösungsansätze und Interpretationen der Ergebnisse ausreichend dokumentiert werden.
Das Schulministerium NRW hat dazu Hinweise zur Dokumentation von Lösungen bei Einsatz des GTR in der schriftlichen Abiturprüfung Mathematik herausgegeben.
Operatoren im Fach Mathematik
Operatoren sind für jedes Fach fest vorgeschriebene Verben, die den Typ einer Aufgabe bezeichnen sollen. Auf diese Weise wird für Prüflinge und Prüfende ein einheitliches Verständnis der Anforderungen einer Aufgabe möglich.
Durch die Operatoren wird oft auch der Anforderungsbereich der Aufgabe festgelegt. Auch wenn Anforderungsbereiche von vielen Faktoren abhängen und viele Operatoren mehreren Bereichen zugeordnet werden können, ist in vielen Fällen der Operator ein gutes Kennzeichen.
- AFB I: Geben Sie die Volumenformel einer Kugel an.
- AFB II: Berechnen Sie die Nullstellen des gegebenen Polynoms.
- AFB III: Zeigen Sie, dass eine quadratische Funktion maximal zwei Nullstellen haben kann.
Bestimmen vs. Berechnen
Grundsätzlich ist in der schriftlichen Abiturprüfung – außer im hilfsmittelfreien Prüfungsteil – die Nutzung aller Funktionsebenen des GTR zulässig. Im Rahmen der durch die Operatorenübersicht beschriebenen erwarteten Leistung kann das Vorgehen in der Regel frei gewählt werden. Die textliche Dokumentation der Problemlösung soll so angelegt sein, dass die Vorgehensweise nachvollziehbar ist. Art und Umfang der Inanspruchnahme der Technologie zur Problemlösung sollen in diesem Rahmen erkennbar sein. Die Dokumentation darf sich daher nicht auf eine Folge von Bedienungsschritten oder Befehlen des GTR beschränken.
Bei Verwendung des Operators „berechnen“ oder des Zusatzes „rechnerisch“ in Verbindung mit anderen Operatoren sind weitere Lösungsschritte zu dokumentieren. Es ist zu beachten, dass die Ergebnisse gemäß Operatorenübersicht mit Darstellung von Ansatz und Berechnung zu gewinnen sind. Neben der Formulierung des Ansatzes ist hinreichend und unter angemessener Nutzung der mathematischen Fachsprache und Symbolik zu dokumentieren, welche konkreten Berechnungen mit dem GTR durchgeführt worden sind. Die zugrundeliegenden mathematischen Ausdrücke (z.B. Gleichungen oder Terme) sind explizit anzugeben. Unabdingbar ist die Einordnung des Ergebnisses in den (Sach-) Zusammenhang. Die bloße Angabe eines mit dem GTR gewonnenen Ergebnisses reicht für eine vollständige Lösung nicht aus.
| Aufgabe | bestimmen/ermitteln | berechnen/rechnerisch |
|---|---|---|
| Nullstellen | grafisch im GTR mit - oder numerisch mit polyRoots
|
Funktionsterm gleich Null setzen und nach x auflösen |
| Extremstellen | grafisch im GTR mit - oder numerisch mit nfMin
|
rechnerisch über Nullstellen der Ableitung (notw./hinr. Bedingung) |
| Steigung | Ableitungsfunktion numerisch auswerten | Ableitung bilden und Funktionsterm mit dem GTR auswerten |
| Bestimmtes Integral | Integral numerisch auswerten | Stammfunktion bilden und Hauptsatz anwenden |
| Integral zwischen Funktionen | Integral der Differenzfunktion numerisch auswerten | Funktionen gleichsetzen, um Schnittpunkte zu ermitteln; Differenzfunktionen bilden; Stammfunktionen bilden; Integral abschnittsweise berechnen |
| Fläche zwischen Funktionen | Integral des Absolutbetrags der Differenzfunktion numerisch auswerten | Funktionen gleichsetzen, um Schnittpunkte zu ermitteln; Differenzfunktionen bilden; Stammfunktionen bilden; Integral abschnittsweise berechnen |
| Schnittpunkt (z.B. Gerade-Ebene) | Gleichsetzen der Parameterformen; Gleichungssystem aufstellen und lösen; Ergebnis in Paramterform einsetzen |
Beispiele
Die folgenden Beispiele zeigen den Unterschied in den Anforderungen an die Operatoren "berechnen" und "bestimmen" (bzw. bedeutungsgleicher Operatoren).
Die Aufgabenstellungen sind grau hinterlegt und die Lösungen farbig umrahmt. Grüne Rahmen zeigen vollständig dokumentierte Lösungen und rote Rahmen zeigen unvollständige Lösungen an.
Polynomfunktion
Ermitteln Sie die Nullstellen der Funktion [math]\displaystyle{ f }[/math] mit [math]\displaystyle{ f(x) = 3x^3 + 7x^2 - 5x }[/math].
Ansatz: Setze [math]\displaystyle{ f(x)=0 }[/math] und löse nach [math]\displaystyle{ x }[/math] auf.
Mit GTR (polyRoots) erhält man [math]\displaystyle{ x_1\approx -2,907 }[/math], [math]\displaystyle{ x_2=0 }[/math] und [math]\displaystyle{ x_3\approx 0,573 }[/math].
Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion [math]\displaystyle{ f }[/math] mit [math]\displaystyle{ f(x) = 3x^3 + 7x^2 - 5x }[/math].
Ansatz: Setze [math]\displaystyle{ f(x)=0 }[/math] und löse nach [math]\displaystyle{ x }[/math] auf.
[math]\displaystyle{ 3x^3 + 7x^2 - 5x = 0 \Leftrightarrow x(3x^2 + 7x - 5) = 0 }[/math]
Also [math]\displaystyle{ x = 0 }[/math] oder [math]\displaystyle{ 3x^2 + 7x - 5 = 0 }[/math].
[math]\displaystyle{ \begin{align} 3x^2 + 7x - 5 &= 0 \\ \Leftrightarrow x^2 +\frac{7}{3}x - \frac{5}{3} &= 0 \end{align} }[/math]
Anwendung der p-q-Formel mit [math]\displaystyle{ p=\frac{7}{3} }[/math] und [math]\displaystyle{ q=-\frac{5}{3} }[/math].
[math]\displaystyle{ x_{1/2} = -\frac{7}{6}\pm \sqrt{\left(-\frac{7}{6}\right)^2 + \frac{5}{3}} }[/math]
Mit GTR ergibt sich [math]\displaystyle{ x_1\approx -2,907 }[/math] und [math]\displaystyle{ x_2\approx 0,573 }[/math].
Exponentialfunktion
Zeigen Sie, dass der Graph der Funktion [math]\displaystyle{ f }[/math] mit [math]\displaystyle{ f(x) = (x^2 - 3x - 6)e^{2x} }[/math] genau zwei Nullstellen bei [math]\displaystyle{ x_1=-8,25 }[/math] und [math]\displaystyle{ x_2=1,5 }[/math] besitzt.
Einsetzen der Stellen mit dem GTR ergibt [math]\displaystyle{ f(-8,25)=0 }[/math] und [math]\displaystyle{ f(1,5)=0 }[/math].
Da [math]\displaystyle{ e^{2x}\gt 0 }[/math], kann [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] nur Null werden, wenn [math]\displaystyle{ x^2 - 3x - 6 = 0 }[/math]. Da dies eine quadratische Funktion ist, kann sie maximal zwei Nullstellen haben.
Zeigen Sie rechnerisch, dass der Graph der Funktion [math]\displaystyle{ f }[/math] mit [math]\displaystyle{ f(x) = (x^2 - 3x - 6)e^{2x} }[/math] genau zwei Nullstellen bei [math]\displaystyle{ x_1=-8,25 }[/math] und [math]\displaystyle{ x_2=1,5 }[/math] besitzt.
Gleichungssysteme
Ermitteln Sie den Schnittpunkt der Geraden [math]\displaystyle{ g }[/math] mit [math]\displaystyle{ g: \vec{x} = \begin{pmatrix}2 \\ -3 \\ 2\end{pmatrix} + r \cdot\begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 3\end{pmatrix} }[/math] und der Ebene [math]\displaystyle{ E }[/math] mit [math]\displaystyle{ E: \vec{x} = \begin{pmatrix}-3 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix} + s\cdot\begin{pmatrix}1 \\ -2 \\ -1\end{pmatrix} + t\cdot\begin{pmatrix}0 \\ -1 \\ 2\end{pmatrix} }[/math].
Berechnen Sie den Schnittpunkt der Geraden [math]\displaystyle{ g }[/math] mit [math]\displaystyle{ g: \vec{x} = \begin{pmatrix}2 \\ -3 \\ 2\end{pmatrix} + r \cdot\begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 3\end{pmatrix} }[/math] und der Ebene [math]\displaystyle{ E }[/math] mit [math]\displaystyle{ E: \vec{x} = \begin{pmatrix}-3 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix} + s\cdot\begin{pmatrix}1 \\ -2 \\ -1\end{pmatrix} + t\cdot\begin{pmatrix}0 \\ -1 \\ 2\end{pmatrix} }[/math].
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